POUR SURVIVRE EN MATHÉMATIQUES:« FAITES CECI ET VOUS VIVREZ »(fermaton.overblog.com)

« Faites ceci et vous vivrez en mathématiques ! » Avec le polynôme du second degré, qui est le passe-partout des maths, il est possible de résoudre un nombre infini de problèmes maths./Dr Clovis Simard,phD

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Louis Segond Bible

1Jacob, voyant qu'il y avait du blé en Egypte, dit à ses fils: Pourquoi vous regardez-vous les uns les autres? 2Il dit: Voici, j'apprends qu'il y a du blé en Egypte; descendez-y, pour nous en acheter là, afin que nous vivions et que nous ne mourions pas. 3Dix frères de Joseph descendirent en Egypte, pour acheter du blé. 4Jacob n'envoya point avec eux Benjamin, frère de Joseph, dans la crainte qu'il ne lui arrivât quelque malheur. 5Les fils d'Israël vinrent pour acheter du blé, au milieu de ceux qui venaient aussi; car la famine était dans le pays de Canaan.

6Joseph commandait dans le pays; c'est lui qui vendait du blé à tout le peuple du pays. Les frères de Joseph vinrent, et se prosternèrent devant lui la face contre terre. 7Joseph vit ses frères et les reconnut; mais il feignit d'être un étranger pour eux, il leur parla durement, et leur dit: D'où venez-vous? Ils répondirent: Du pays de Canaan, pour acheter des vivres.

8Joseph reconnut ses frères, mais eux ne le reconnurent pas. 9Joseph se souvint des songes qu'il avait eus à leur sujet, et il leur dit: Vous êtes des espions; c'est pour observer les lieux faibles du pays que vous êtes venus. 10Ils lui répondirent: Non, mon seigneur, tes serviteurs sont venus pour acheter du blé. 11Nous sommes tous fils d'un même homme; nous sommes sincères, tes serviteurs ne sont pas des espions. 12Il leur dit: Nullement; c'est pour observer les lieux faibles du pays que vous êtes venus. 13Ils répondirent: Nous, tes serviteurs, sommes douze frères, fils d'un même homme au pays de Canaan; et voici, le plus jeune est aujourd'hui avec notre père, et il y en a un qui n'est plus. 14Joseph leur dit: Je viens de vous le dire, vous êtes des espions. 15Voici comment vous serez éprouvés. Par la vie de Pharaon! vous ne sortirez point d'ici que votre jeune frère ne soit venu. 16Envoyez l'un de vous pour chercher votre frère; et vous, restez prisonniers. Vos paroles seront éprouvées, et je saurai si la vérité est chez vous; sinon, par la vie de Pharaon! vous êtes des espions. 17Et il les mit ensemble trois jours en prison.

18Le troisième jour, Joseph leur dit: Faites ceci, et vous vivrez. Je crains Dieu! 19Si vous êtes sincères, que l'un de vos frères reste enfermé dans votre prison; et vous, partez, emportez du blé pour nourrir vos familles, 20et amenez-moi votre jeune frère, afin que vos paroles soient éprouvées et que vous ne mouriez point. Et ils firent ainsi. 21Ils se dirent alors l'un à l'autre: Oui, nous avons été coupables envers notre frère, car nous avons vu l'angoisse de son âme, quand il nous demandait grâce, et nous ne l'avons point écouté! C'est pour cela que cette affliction nous arrive.22Ruben, prenant la parole, leur dit: Ne vous disais-je pas: Ne commettez point un crime envers cet enfant? Mais vous n'avez point écouté. Et voici, son sang est redemandé. 23Ils ne savaient pas que Joseph comprenait, car il se servait avec eux d'un interprète. 24Il s'éloigna d'eux, pour pleurer. Il revint, et leur parla; puis il prit parmi eux Siméon, et le fit enchaîner sous leurs yeux.

25Joseph ordonna qu'on remplît de blé leurs sacs, qu'on remît l'argent de chacun dans son sac, et qu'on leur donnât des provisions pour la route. Et l'on fit ainsi.

26Ils chargèrent le blé sur leurs ânes, et partirent. 27L'un d'eux ouvrit son sac pour donner du fourrage à son âne, dans le lieu où ils passèrent la nuit, et il vit l'argent qui était à l'entrée du sac. 28Il dit à ses frères: Mon argent a été rendu, et le voici dans mon sac. Alors leur coeur fut en défaillance; et ils se dirent l'un à l'autre, en tremblant: Qu'est-ce que Dieu nous a fait?

29Ils revinrent auprès de Jacob, leur père, dans le pays de Canaan, et ils lui racontèrent tout ce qui leur était arrivé. Ils dirent: 30L'homme, qui est le seigneur du pays, nous a parlé durement, et il nous a pris pour des espions. 31Nous lui avons dit: Nous sommes sincères, nous ne sommes pas des espions. 32Nous sommes douze frères, fils de notre père; l'un n'est plus, et le plus jeune est aujourd'hui avec notre père au pays de Canaan. 33Et l'homme, qui est le seigneur du pays, nous a dit: Voici comment je saurai si vous êtes sincères. Laissez auprès de moi l'un de vos frères, prenez de quoi nourrir vos familles, partez, 34et amenez-moi votre jeune frère. Je saurai ainsi que vous n'êtes pas des espions, que vous êtes sincères; je vous rendrai votre frère, et vous pourrez librement parcourir le pays.

35Lorsqu'ils vidèrent leurs sacs, voici, le paquet d'argent de chacun était dans son sac. Ils virent, eux et leur père, leurs paquets d'argent, et ils eurent peur. 36Jacob, leur père, leur dit: Vous me privez de mes enfants! Joseph n'est plus, Siméon n'est plus, et vous prendriez Benjamin! C'est sur moi que tout cela retombe. 37Ruben dit à son père: Tu feras mourir mes deux fils si je ne te ramène pas Benjamin; remets-le entre mes mains, et je te le ramènerai.38Jacob dit: Mon fils ne descendra point avec vous; car son frère est mort, et il reste seul; s'il lui arrivait un malheur dans le voyage que vous allez faire, vous feriez descendre mes cheveux blancs avec douleur dans le séjour des morts.

Équation du second degré

En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de degré 2, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme :

où x est l'inconnue et les lettres a, b et c représentent les coefficients, avec a différent de 0.

Dans l'ensemble des nombres réels, une telle équation admet au maximum deux solutions, qui correspondent aux abscisses des éventuels points d'intersection de la parabole d'équation avec l'axe des abscisses dans le plan muni d'un repère cartésien. La position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, et donc le nombre de solutions (0, 1 ou 2) est donnée par le signe du discriminant. Ce dernier permet également d'exprimer facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la fonction du second degré associée.

Sur le corps des nombres complexes, une équation du second degré a toujours exactement deux racines distinctes ou une racine double. Dans l'algèbre des quaternions, une équation du second degré peut avoir une infinité de solutions.

Historique

Les équations du second degré sont au centre de l'algèbre babylonienne, dès avant le xviiie siècle av. J.-C.1. La tablette d'argile BM 13901 a été qualifiée de « véritable petit manuel d'algèbre, consacré à l'équation du second degré et aux systèmes d'équations, et donnant les procédures résolutoires fondamentales »2.

Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au ixe siècle, dans un ouvrage intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres , et sont tous positifs :

1. les carrés égalent les racines :
2. les carrés égalent les nombres :
3. les racines égalent les nombres :
4. les carrés et les racines égalent les nombres :
5. les carrés et les nombres égalent les racines :
6. les racines et les nombres égalent les carrés :

Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'algèbre géométrique.

Éléments clé

Introduction par l'exemple

On recherche les éventuelles solutions de l'équation suivante3 :

Le membre de gauche est appelé trinôme du second degré4. Il est composé de trois termes, tous de la même forme : un nombre non nul que multiplie une puissance entière de x. Chaque terme est appelé monôme et, comme il en existe trois, on parle de trinôme. La plus grande puissance de ces monômes est deux ; pour cette raison, on parle de second degré. L'expression 0x2 + x + 1 n'est pas un trinôme : x + 1, est un binôme du premier degréNote 1.

La méthode consiste à forcer l'apparition d'une première identité remarquable. On écrit le polynôme de la manière suivante :

Les trois premiers termes sont ceux d'une somme remarquable. L'application d'une identité remarquable permet d'écrire le polynôme de la manière suivante :

On peut alors appliquer à cette différence de carrés une deuxième identité remarquable :

L'équation initiale s'exprime alors sous forme d'un produit de deux facteurs :

Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nulNote 2. Cette remarque permet de trouver les deux solutions x1 et x2 :

Cette équation n'admet qu'une unique racine positive x1, cette valeur est appelée nombre d'or. Il est aussi possible de résoudre une équation du second degré sans la moindre connaissance d'algèbre, le paragraphe méthode géométrique montre comment s'y prendre.