HASARD-TEMPS ET GÉOMÉTRIE, C'EST MATHÉMATIQUES(fermaton.overblog.com)

Triangle de Pascal

En mathématiques, le triangle de Pascal est une présentation des coefficients binomiaux dans un triangle. Il fut nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal. Il est connu sous l'appellation triangle de Pascalen Occident, bien qu'il fût étudié par d'autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse, au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie.

La construction du triangle est liée aux coefficients binomiaux selon la règle de Pascal qui s'énonce ainsi :

Si on pose (formule du binôme), alors : pour tout entier positif n et tout entier k compris entre 1 et n−1.

Le triangle de Pascal peut être généralisé à d'autres dimensions. La version tridimensionelle est appelée la pyramide de Pascal ou le tétraèdre de Pascal, tandis que les versions générales sont appelées simplexe de Pascal.

La tradition attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en Orient et au Moyen-Orient plusieurs siècles avant la publication de Blaise Pascal. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple al-Karaji (953 - 1029)1 ou Omar Khayyam au xie siècle ou des mathématiciens du Maghreb comme Ibn al-Banna2 et ses disciples qui l'utilisent pour développer (a + b)n. Il apparaît en Chine dès 1261dans un ouvrage de Yang Hui (au rang 6) et dans le Miroir de jade des quatre éléments de Zhu Shijie en 1303 (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du xie siècle Jia Xian. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la formule du binôme et, selon Victor J. Katz, il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à deux la méthode d'extraction de racine3.

En Europe, il apparait dans l'ouvrage de Peter Apian, Rechnung4 (1527). Il est étudié par Michael Stifel (1486 - 1567)5, Tartaglia (1499 - 1557) et François Viète (1540-1603). C'est d'ailleurs sous le nom de « triangle de Tartaglia » qu'il est connu en Italie. Il est également connu de Marin Mersenne6. Mais c'est Blaise Pascal qui lui consacre un traité : le Traité du triangle arithmétique (1654) démontrant 19 de ses propriétés, propriétés découlant en partie de la définition combinatoire des coefficients. Nombre de ces propriétés étaient déjà connues mais admises et non démontrées. Pour les démontrer, Pascal met en place dans son traité une version aboutie du raisonnement par récurrence. Il y démontre le lien entre le triangle et la formule du binôme. Il l'utilise dans la résolution d'un problème de partage équitable des enjeux dans un jeu de hasard qui est interrompu avant le terme défini (problème des partis)note 1.